Квадратура круга
Шрифт:
Что в геометрии означает «построить»
Прежде всего следует правильно уяснить себе требование задачи. Обратим внимание на то, что искомый квадрат предлагается «построить». Это означает, что решение должно быть получено в результате пересечения прямых линий между собой, окружностей между собой или прямых с окружностями. Как бы сложно ни было геометрическое построение, оно должно расчленяться на ряд простейших операций двоякого рода.
А именно:
1) проведение прямой линии через два данные точки,
2) проведение окружности (или ее части, т. е. дуги) данным радиусом около данной точки, как центра.
Первый род операций выполняется помощью чертежной линейки; второй — циркулем. Поэтому рассматриваемое требование нередко высказывают в такой форме: задача должна быть решена «циркулем и линейкой», подразумевая, что эти чертежные принадлежности употребляются только указанными сейчас способами; никакое другое употребление линейки и циркуля при решении геометрических задач не допускается. Нельзя, например, пользоваться линейкой с делениями и вообще какими-либо метками, сделанными на линейке. Кроме того, ряд отдельных операций не должен быть бесконечен: построение, состоящее из бесконечного числа элементарных операций, не считается правильным решением задачи на построение.
Таковы требования, которым должно удовлетворять решение задачи о квадратуре круга.
Предпочтение, которое древние геометры при построениях отдавали прямой линии и окружности перед другими линиями, объясняется, по мнению Ньютона, тем, что прямые и окружности легче чертить, нежели все иные линии. Таким образом, условия, выдвинутые казалось бы чистой теорией, на самом деле имеют глубокие практические корни.
Правда и вымысел
Условия, уточняющие требования задачи о квадратуре круга, известны только специалистам-математикам. В широких кругах любителей о них в большинстве случаев даже не подозревают. Преобладающая масса не-математиков приступает к решению этой задачи, понимая ее по-своему, упрощенно.
Чем, однако, объясняется чрезвычайная популярность задачи о квадратуре круга среди не-математиков и их настойчивые попытки отыскать ее решение?
Причиной является прежде всего кажущаяся простота содержания задачи. Даже не изучавшие геометрию знают, что такое квадрат и круг. Каждому представляется также известным, что надо разуметь под площадью фигуры. Отсюда возникает уверенность, что задача о квадратуре круга под силу и не присяжному математику. А то, что в продолжении ряда веков ее не могли разрешить подлинные математики, только подзадоривало самонадеянных искателей славы.
Но не одно честолюбие побуждало профанов браться за эту задачу. С древних времен сложилось ложное убеждение, будто квадратура круга является ключом ко многим тайнам природы и что ее разрешение должно повлечь за собой ряд новых открытий. Кроме того, распространен был слух, будто английский парламент и правительство Голландии, назначившие премию за лучший способ определения географической долготы на море, обещали крупную награду также и за разрешение квадратуры круга. Верили почему-то в тесную связь обеих задач.
Ложные представления, связанные с квадратурой круга, способствовали широкой известности этой задачи и придали ей чрезвычайную заманчивость в глазах людей, недостаточно сведущих в математике. В этом отношении с нею могут сравниться лишь такие проблемы, как составление «жизненного эликсира», отыскание «философского камня» [1] или изобретение «вечного двигателя».
Число воображаемых решений квадратуры круга и других неразрешимых задач было встарину настолько велико, что Парижская академия наук еще в 1775 г. принуждена была выступить со следующим заявлением:
1
«Жизненный эликсир» — напиток, будто бы дарующий бессмертие. «Философский камень» — вещество, которое, как верили алхимики, способно превращать дешевые металлы в золото.
«Академия постановила не рассматривать отныне представляемых ей решений задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение».
Двухтысячелетние поиски решения
Великий математик древнего мира Архимед (III век до нашей эры) первый поставил задачу о квадратуре круга на научную основу. В сочинении «Измерение круга» он доказал, что круг равновелик прямоугольному треугольнику, один катет которого есть радиус круга, а другой — выпрямленная окружность (рис. 2). Способ выпрямления окружности указан Архимедом в том же сочинении: длина окружности меньше 31/7 диаметра, но больше, чем 310/71 диаметра. Другими словами, Архимед доказал, что отношение длины окружности к ее диаметру, т. е. число, которое принято теперь обозначать греческой буквой (ПИ), заключается между 310/71 и 31/7. Высший предел, 31/7, настолько близок к истинной величине, что им часто пользуются на практике еще в наши дни; его называют «Архимедовым числом».
Вытекающий из сказанного способ приближенного решения задачи о квадратуре круга весьма несложен. Построив прямоугольный треугольник с катетами R и
Отложив на прямой последовательно AC=R и
откуда
т. е. площадь квадрата со стороною х приближенно равна площади круга.
Чем точнее известно значение , тем, очевидно, точнее может быть выполнено такое построение. Естественно поэтому, что позднейшие работы математиков над квадратурой круга были тесно связаны с получением возможно более точного . В течение почти двух тысячелетий после Архимеда нахождение велось по методу великого математика древности; способ Архимеда заключался в том, что площадь круга сравнивалась с площадями вписанных и описанных правильных многоугольников, число сторон которых последовательно удваивается. Совершенствуя метод Архимеда, позднейшие математики получали для все более и более точные значения. Представленное в виде десятичных дробей, значение выражалось десятками цифр. Так, голландский математик Лудольф ван-Цейлен, пользуясь методом Архимеда, вычислил (в 1615 г.) c 31 верным десятичным знаком: =3.1415926535897932384626433832795. (Эта дробь называется «Лудольфовым числом»). Оставалось, однако, неизвестным, имеет ли этот все удлиняющийся ряд цифр конец, или же он бесконечен.