Чтение онлайн

c) Обратимся к числу как системе полаганий. Хотя актов полагания в числе столько же, сколько в нем и количественных единиц, но логически это совершенно разные категории. И мы сейчас же замечаем, сколь несхожую структуру мы получим, если остановимся именно на актах полагания. Итак, берем те акты полагания, из которых состоит данное число, и пробуем представлять их как возникающие из определенной системы чисел. Акты полагания единиц в числе тем отличаются от его количественного смысла, что они существуют и могут рассматриваться в своей полной изолированности, в то время как количество, будучи смыслом числа, обязательно берется как целое, как некая неделимая единичность, вне которой оно рассыпается и теряет свой смысл, т. е. перестает быть смыслом числа. Каждый акт полагания имеет значение сам по себе и, даже все вместе взятые, они остаются (как таковые, вне своего смысла) полной дискретностью. Поэтому привлечение некоей новой системы чисел для характеристики актов полагания, составляющих данное число, нисколько не затронет его количественно–смысловой значимости, а только произведет изменение в них как именно в них. Но что же это значит—произвести изменение в актах полагания как актах полагания? Это значит производить из них тот или иной отбор и располагать их в том или ином порядке. Раз количественная сторона числа остается без внимания, то остается только так или иначе комбинировать входящие в него акты полагания, или единицы. Другими словами, здесь мы наталкиваемся на тот отдел математики, который обычно носит название комбинаторики, или учения о соединениях. Мы можем иметь в виду тот или иной выбор элементов, тот или иной порядок элементов, наконец, то или иное объединение выбора элементов с их порядком и получить три общеизвестных типа «соединений»-— «размещения», «перестановки» и «сочетания».

Возьмем хотя бы «перестановки». Пусть у нас имеется элементов, т. е. число Р. Отвлечемся от того, что это именно Р, а будем только оперировать с входящими в него элементами. И пусть нам скажут, что эти элементы, взятые в таком виде, должны быть составлены соответственно той или другой системе чисел. Какова бы эта система ни была, мы сможем произвести в них изменение именно в смысле того или иного их комбинирования, т. е. определенного отбора и порядка. Никакие иные характеристики нашего числа невозможны, раз мы с самого начала отбросили его чисто количественный смысл. Так с очевидностью вытекает, что комбинаторика есть рассмотрение чисел, взятых только в составляющих их актах полагания, с точки зрения той или иной системы других чисел.

3. По нерушимому закону диалектики количественный смысл и общечисловые акты полагания объединяются в нечто целое, и мы начинаем говорить о синтезе того и другого, об осмысленном акте полагания числа. Следовательно, число, рассматриваемое как появившееся из целой системы чисел (а значит, и операций), предстает и со всеми своими актами полагания, и со всей своей количественной значимостью. Мы получаем число, которое, во–первых, интересует нас уже само по себе, т. е. чисто количественно. А во–вторых, оно интересует нас как вычисленное на основании определенной системы чисел и, поскольку эта последняя, основана на комбинировании актов полагания, как вычисленное на основании комбинаторного принципа. Это соединение числа как непосредственного количества с его комбинаторной исчисленностью есть детерминант.

а) Посмотрим, как определяется детерминант. Берется n 2чисел, которые расставляются в виде следующей квадратной таблицы:

a 11, a 12… a 1n

a 21, a 22… a 2n

a n1, a n2… a nn

В этой таблице a ikпервым значком—i обозначается номер строки, вторым, к—номер столбца. Составляем всевозможные произведения из всех этих чисел так, чтобы в каждое произведение входило по одному числу из каждой строки и из каждого столбца. Очевидно, мы получим произведение вида

a 1p1a 2p2… a npn

где р 1р 2, p nесть определенным образом расставленные числа 1,2,…, n, причем число этих «перестановок», как известно, будет равно 1·2·3·…·n=n! Если в качестве основного порядка «перестановки» взять прямую последовательность 1, 2, 3, …, и под инверсией (беспорядком) понимать то явление, что большее число стоит в перестановке раньше меньшего, то мы получим в одних произведениях четное число инверсий во вторых значках, в других нечетное. Возьмем первые со знаком плюс и вторые со знаком минус. Тогда сумма всех этих произведений и образует детерминант л–го порядка. Обозначая через [р 1р 2, p n] число инверсий в перестановке р 1р 2, p nмы можем Определить указанный детерминант как

Если имеется детерминант второго порядка:

a 11, a 12

a 21, a 22

то он равен a 11, a 12 — a 21, a 22Здесь число, равное детерминанту, состоит из алгебраической суммы двух произведений, из которых оба имеют первыми значками основную перестановку, т. е. (1, 2), а вторыми значками—две возможные тут перестановки из двух элементов—(1, 2) и (2, 1), причем второе произведение как содержащее инверсию во вторых значках (2, 1) взято с минусом. То же самое легко усматривается на детерминанте 3–го порядка, который, очевидно, будет равен следующей алгебраической сумме произведений:

a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32 — a 11a 23a 32 — a 12a 21a 33 — a 13a 22a 31

Таково обычное определение детерминанта.

b) Что же мы тут усматриваем с точки зрения категориальной структуры? Мы находим прежде всего, что некое число (которому равен детерминант) составлено здесь из некоей системы чисел, рассмотрено в свете этой системы, вычислено при ее помощи. Значит, уже по одному этому детерминант вполне правильно отнесен нами к категории ставшей сущности арифметического числа. Всматриваемся, что же это за система чисел и как она составлена. Оказывается, наше число представлено здесь как алгебраическая сумма некоторых произведений. Это значит, что наше число взято нами в своем количественном содержании; и то, что мы получаем в результате применения действующей тут системы чисел, есть непосредственное количество. Другими словами, здесь мы имеем структуру того же типа, какую имели при непосредственном вычислении арифметического ряда (напр. в арифметической прогрессии), только что отдельные слагаемые составлены здесь по более сложному закону, чем в обыкновенных арифметических рядах. Остается, следовательно, учесть закон составления этих слагаемых, и мы исчерпаем категориальную структуру детерминанта.

Что же это за закон? Возьмем ради простоты рассуждения детерминант 3–го порядка. В этом случае наши произведения будут состоять каждое из трех сомножителей, которые будут составляться так. Сделаем все перестановки из трех элементов. Их будет шесть:

1, 2, 3

2, 3, 1

3, 1,2

1, 3, 2

2, 1,3

3, 2, 1.

Примем за основную перестановку первую — 1, 2, 3. Сделаем так, чтобы эта основная перестановка имела значение во всех шести перестановках, чтобы все они были на нее нанизаны. Тогда и получаем закон составления этих слагаемых из произведений:

11,22,33

12, 23, 31

13, 21, 32

11,23,32

12, 21, 33

13, 22, 31.

Смысл этого распределения заключается в том, чтобы каждая из шести перестановок обязательно имела смысл основной перестановки 1, 2, 3, чтобы каждый элемент независимо от своего собственного значения имел бы также значение и своего положения в перестановке 1, 2, 3.

с) Нетрудно заметить, что количественно–смысловое значение нашего общего числа и участие в нем разной расставленности актов полагания, т. е. его «смысл» и его «бытие», построены по одному и тому же закону, по закону диалектической триады. Количество дано в виде суммы, следовательно, имеется в виду некоторая положенность чисел; и эти слагаемые суть некоторого рода произведения, следовательно, положенность перешла тут в свое инобытие, поскольку (§ 117) всякое произведение есть всегда некое воспроизведение одного в ином. Но если каждое слагаемое есть произведение, то все наше число есть сумма произведений. Это третий шаг в определении количественного смысла изучаемого числа. С другой стороны, переходя к изучению актов полагания, из которых составляется наше число, мы прежде всего видим, что тут признается за данный некоторый определенный порядок актов полагания (выбор этот вполне произволен), а затем тут же перебираются все возможные инобытийные виды этого порядка, с которыми, однако, основной порядок остается неразрывно связанным. Таким образом, три диалектических шага вполне различимы в структуре как количественного содержания изучаемого числа, так и актов его полагания.

d) Остается еще одна и последняя идея, чтобы детерминант открыл нам свой логический секрет. А именно, мы взяли в нашем числе чисто количественную сторону и чисто фактическую, акты его полагания. Само число, однако, не есть ни только абстрактное количество без осуществляющих его актов полагания, ни только слепые акты полагания без осмысливающего их количества. Но не сразу понятно, как акты полагания могут в данном случае определить количество. Конкретно вопрос стоит так: как каждое из наших произведений определяется входящими в него актами полагания? Если этот вопрос будет решен относительно каждого произведения в отдельности, то тем самым он будет решен и относительно всей суммы произведений, т. е. относительно всего изучаемого нами числа.