Чтение онлайн

А то, что вы хотите узнать, можно показать на геометрическом примере. Сначала мы возьмем обычную декартову плоскость, затем еще одну, которая будет комплексной, и она же будет полупрозрачной... А вы, юноша, дайте мне квадратное уравнение поудобней!

– Пожалуйста!
– не задумываясь, ответил наш герой, -

х2– 8х+ 15 = 0.

Три и пять. Лучше не придумаешь.

– Сойдет, - ответил Мнимий.
– Дальше так: пусть перед нами встанет первая плоскость, на ней оси деления и парабола. А комплексная плоскость пусть станет перед первой вплотную. Она полупрозрачная, и через нее мы отлично увидим первую.

Так все и случилось. Сперва возникла обычная плоскость, причем ось абсцисс была голубая, а ось ординат розовая, потом возникла и темно-синяя парабола. А на делениях ( + 3) и (+5), там, где были корни квадратного уравнения, где парабола пересекла ось абсцисс, ярко горели две блестящие оранжевые точки.

– Вот и корни!
– сказал Илюша.

– А теперь мы сотворим и комплексную.

И действительно, тут же, поправей, возникла еще одна плоскость, не очень заметная, матовая. На ней были тоже две взаимно перпендикулярные оса, действительная и мнимая, только они были совсем тоненькие. В начале координат сияла зеленая точка.

– 415 -

– Подвиньтесь!
– вежливо попросил Мнимий.

И тут комплексная плоскость подвинулась налево и стала так аккуратно, что оси на том и на другом чертеже почти слились (они ведь были в одном масштабе!), но все было очень хорошо видно через вторую полупрозрачную плоскость.

– А зеленая точка на нуле, - сообразил мальчик, - означает, что ничего мнимого пока еще нет?

– По-видимому, так...
– раздался торжественный шепот прямо из самого экрана: волшебные чертежи, оказывается, отлично умеют говорить!

– Итак, - продолжал Мнимий, - следите за мной хорошенько, и вскоре все станет ясно. Вот перед вами парабола!

Она, как вы знаете, прекрасная гречанка, и от роду ей очень много лет. Для того чтобы все было не так хитро, мы будем рассматривать ее в таком виде, что коэффициент при иксе во второй степени будет равен единице.

– То есть, - подхватил Илья, - мы берем выражение

ах2 + bх + с

и делим все члены на а.

Теперь перед Илюшей сиял график квадратного трехчлена, то есть чертеж параболы, обращенной вершиной вниз, ее ось стояла вертикально, и вершина параболы была ниже оси абсцисс (которая, как мы знаем, горизонтальная). Парабола пересекала ось абсцисс дважды. Недалеко засветилось и само уравнение:

х2– 8х+ 15 = 0.

– А какие у нас корни?
– спросил Мнимий.

– Два действительных корня, потому что парабола пересекает ось абсцисс два раза, - отвечал мальчик.

– Справедливо. Теперь я попрошу параболу подняться немножко повыше.

Парабола охотно послушалась, и две оранжевые точки на горизонталях стали сближаться; и вот уже вершина параболы только касалась оси абсцисс в одной точке. Две оранжевые точки сошлись в одну.

– А теперь?
– спросил Мнимий.

Рядом уже светилось и уравнение:

х2– 8х + 16 = 0.

– А теперь, - отвечал Илья, - два одинаковых действительных корня, оба равны (+4).

– 416 -

– Так. Согласен. Попрошу еще вверх немного.

Послушная парабола согласилась и на это. И теперь вся она поднялась выше оси абсцисс, не касаясь ее. Вершина параболы по-прежнему висела над делением оси абсцисс, равным четырем. Однако как только вершина параболы вздумала оторваться от горизонтали, немедленно оси на полупрозрачной комплексной плоскости стали еще ярче, а зеленая точка в начале координат вспыхнула посветлее. Едва лишь горизонталь и вершина параболы расстались друг с другом, эта точка немедленно раздвоилась. И теперь уже две зеленые точки медленно поползли: одна вверх по мнимой оси, а другая по той же оси вниз. Затем обе эти точки остановились против деления три, только одна стояла против (+3), а другая против (-3).

– Ну-с, - произнес Мнимий, - я вас слушаю.

– Тут, - сказал Илюша, - оба корня комплексные. И они, конечно, сопряженные. Один будет равен (4 + 3i), а другой (4-3i). Если теперь открыть скобки в выражении

[x - (4 + 3i)] [х - (4 - 3i) ] = 0,

то получится вот что:

х2– 8х + 25 = 0.

Этому уравнению соответствует парабола вот такая, как сейчас на нашем чертеже. А почему это так, сообразить нетрудно.

Ведь если написать:

[x - (a + bi)] [х - (a - bi) ] = 0,

то открой скобки и получишь:

х2– 2ах+ (а2 + b2) = 0.

Вот и все! Проверить - одна минута.

– Точно!
– подтвердил Мнимий.
– А больше вы ничего не замечаете?

И вот только тут наш герой усмотрел, что парабола отразилась ниже действительной оси и висит там вершиной вверх.

Так что теперь уже перед ним были как бы две параболы...

А из самого начала координат (там, где пересекались обе оси) ползет яркий лиловый пунктир со стрелочкой на конце. Он добрался до точки с координатами D, 3), и стрелочка его остановилась, как только коснулась этой точки.

– 417 -

Илюша обернулся к Мнимию, но, к своему удивлению, обнаружил, что его приятель... исчез бесследно! Но когда он невольно слова перевел глаза на чертеж, он с удовольствием заметил, что лиловая стрелочка уже превратилась в самого Мнимия, который очень весело ему кивает из глубины чертежа!

– Вот я каков!
– крикнул Мнимий из чертежа.
– Могу вырасти, если парабола поднимется вверх...

Парабола стремительно рванулась ввысь, Мнимий, ринувшись за ней, вытянулся, стал длинный-длинный и страшно важный, ибо вершина параболы ушла куда-то очень высоко, а Мнимий остановился на 92-м делении по мнимой оси. Пока Мнимий удлинялся, в записи сверкающего уравнения значение свободного члена начало быстро увеличиваться (а коэффициент при неизвестном в первой степени оставался тем же).

И в конце концов вот что получилось:

х2– 8х + 8480 = 0.

– А если вам так уж хочется, я могу стать и поскромнее!

Парабола стала, не торопясь, опускаться и остановилась против деления 19 на вертикальной оси.

Тут же засветилось и уравнение:

х2– 8х + 377 = 0.

– Могу и вовсе исчезнуть!

Парабола опустилась до самой оси абсцисс, коснулась ее, и Мнимий исчез.

Илюша обернулся, и оказалось, что Мнимий уже снова стоит рядом с ними.