Чтение онлайн

1000х(1+1,2)2==1440 (руб.)

Как видим, придется доложить 440 руб. к своей тысяче, чтобы через полгода она стоила столько же, сколько и сейчас.

Сделанные нами расчеты наглядно показывают, что в сумму процентов, декларированных к уплате ипотечного процента, входит, помимо банковских наценок, еще и инфляционные изменения ценности денег.

Но инфляция – не единственная причина существования процентов. Ведь даже в условиях стабильной экономики при отсутствии инфляции займодавцы хотят что-то получить с заемщиков, кроме суммы долга.

Простые проценты

Главное правило – проценты начисляются только на основную сумму долга (а в «сложной» формуле – еще и проценты на проценты). Математически эта операция проще, хотя экономически менее справедлива.

Общая формула:

В нашем примере

1000х(1+0,2х2)=1000х1,4=1400.

Дисконтирование

Иногда встает обратная задача: понять, сколько стоит сегодня некоторая «завтрашняя» сумма денег. Например, предлагают купить облигацию, сулящую через год 10 000 рублей. Сколько не жалко за нее заплатить? Формула для этой операции такова:

Полученное число PV называется текущей или приведенной стоимостью будущей суммы денег, а процентная ставка r– коэффициентом дисконтирования. (Правда, в качестве r чаще берут не темп инфляции, а банковскую ставку по депозитам.)

Итак, предположим, банк выдал вам в кредит на 10 лет 20 тыс. долл. США, а ставка – 10 % годовых. Сколько всего вы уплатите банку? И когда?

Понятно, банк не будет ждать 10 лет, пока вы вернете всю сумму с процентами сразу, он предпочтет получать от своего кредита стабильные доходы на протяжении всего срока. Но как нам начислять проценты? Они будут простыми или сложными?

Вариант 1: справедливый, но не очень удобный.

Самый простой путь – равномерное погашение кредита с уплатой процентов на остаток задолженности – аналогичен регулярному снятию процентов с банковского вклада. Тут разницы между простыми и сложными процентами нет. В конце первого года будут возвращены:

4000 долл. = 2000 долл. (1/10 суммы) + 2000 долл. (10 % годовых), и сумма долга уменьшится до 18 000 долл. В конце второго года платим:

3800 долл. = 2000 долл. (1/10 суммы) + 1800 долл. (10 % годовых).

Сумма долга – 16 000 долл.; и т. д. Общая сумма выплат снижалась бы год от года, и в конце срока мы бы отдали всего лишь 2200 долл. (последние 2000 долл. + 200 долл. процентов).

В общем виде получаются следующие формулы:

(Для удобства считаем, что проценты платятся ежегодно, хотя чаще встречаются ежемесячные выплаты. Формула станет более громоздкой, но принципиальных отличий не будет.)

Банку этот вариант выгоден: он быстрее получает деньги назад, но вот заемщику обычно хочется сдвинуть выплаты подальше в будущее и платить равными долями (а лучше – с постепенным увеличением выплат). Как будет устроен такой расчет?

Вариант 2: простой, но грабительский.

Воспользовавшись неграмотностью заемщика, банк может предложить следующее: берем проценты за 10 лет (простые проценты – видите, мы нежадные!), прибавляем их к сумме основного долга: 20000 долл. + (0,1х20000 долл.)х10 = 40000 долл. Теперь делим все это на 10 лет – выходит по 4000 в год. Позвольте! Почему по 4000 долл. в год? По первой формуле выходило заметно меньше!

А по второму варианту мы платим проценты на всю сумму кредита в течение всего срока! В том числе и на ту часть, которую давно вернули!

Общая формула:

Это просто ростовщический подход, и в чистом виде он встречается редко, по крайней мере, у солидных банков. Но его варианты могут вам попасться и осложнить жизнь. Сравните: вы заплатите за весь период 40 000 долл., а в первом случае все расходы составят 31 000 долл.!

Вариант 3: сложный, но честный.

Чтобы понять, какие суммы выплачиваются при равных регулярных платежах, вернемся к понятию дисконтирования, ведь выплаты разделены временем, и просто складывать их – не вполне корректно. Правильнее найти их суммарную приведенную стоимость, а потом в формулу подставить сумму кредита и определить, чему равен разовый платеж. Исходный момент – выдача кредита в «нулевом году».

Пусть выплаты составляют А рублей в год на протяжении n лет при годовой процентной ставке r. Дисконтированная выплата рублей в конце первого года равна А/(1+r). Дисконтированная выплата второго года составит А/(1+r)2 и т. д. Получается геометрическая прогрессия с первым членом А/(1+r) и знаменателем 1/(1+r). Первоначальная сумма кредита (дисконтированная) составит:

Разделив величину кредита (в нашем случае 20 000 долл.) на выражение (1+r)n r (аннуитетный множитель), получим искомую сумму разового платежа.

Аннуитетный множитель зависит от процентной ставки и числа периодов; его можно найти в специальных таблицах. Для срока 10 лет и ставки 10 % он равен 6,144567, так что годовой платеж составит 20000 долл.: 6,14 = 3255 долл. В этой сумме уже есть и проценты, и постепенное погашение основного кредита. Год от года доля процентов снижается.

При третьем способе общая сумма выплат за десять лет будет больше, чем при первом: 32550 долл., а не 31000 долл. Но это справедливо: ведь при третьей схеме выплаты больше смещены к концу срока. Приведенная же стоимость всех выплат оказывается одинаковой и в первой, и в третьей схеме, – 20000 долл. (если дисконтировать по ставке 10 %). А вот при второй схеме ее величина равна 24578 долл., что, явно невыгодно для потребителя.

Вариант 4: непростой, но привлекательный.