Чтение онлайн

И еще позднее в иных сундуках откроются следы того, что и такие математические умы, как братья Бернулли, тоже позволяли себе играть в логическое исчисление.

Идея носилась в воздухе. Подобно тому, как во времена Мартьянова будет витать другая идея, которая вдруг неожиданно с ней сомкнётся.

А пока что решающий шаг сделает Джордж Буль, школьный безвестный учитель.

Год прошел после того, как Джордж Буль набросал в тени кустарника первые штрихи своей системы, — и в издании Кембриджа выходит его книжка «Математический анализ логики». Тоненькая книжка, в несколько десятков страничек, вида вовсе не притязательного, почти сплошь испещренная значками и формулами.

Пожалуй, только из упрямства решил Мартьянов проштудировать этот труд столетней давности, пытаясь одолеть с помощью Наташи старомодный английский язык и уже без всякой помощи малопонятные выкладки автора.

Да и в свое время эта книжка не произвела особо сильного впечатления. Лишь редкие охотники до всяких головоломок заглядывали в ее странички. А дочитав или не дочитав, упрекали ее в сумбурности, и в неуклюжем изложении, и в том, что в ней нет должного «математического изящества». И правда, смелую мысль, заключенную в эту обложку, покрывал еще изрядный туман первого вдохновения.

А все-таки с нее-то все и началось.

Буль не уставал совершенствовать свою систему. Многое в жизни у него переменилось. Он переехал в Ирландию, в маленький городок Корк, куда пригласили его преподавать в королевском колледже, — возвышение, конечно, значительное для бедного учителя. Он женился, обзавелся семьей. Но главной своей привязанности не изменил. Алгебра логики заполняла его самые драгоценные часы.

Он и не беспокоился о том, были ли у него какие-нибудь предшественники. Ничего не мог он знать, скажем, о попытках Лейбница, все еще похороненных где-то на дне сундуков. Он трудился в одиночку, привыкший к тому, что всегда должен решать самостоятельно и что ему не на кого больше рассчитывать.

Чудаковатый этот учитель часто шагал по окрестностям Корка, в коричневом сюртуке и твердом стоячем воротничке с отогнутыми уголками, заложив руки за спину, наклонившись вперед, словно против ветра, задумчивый, рассеянный, вызывая улыбки местных жителей, которые и любили его, и считали, что, в общем-то, он… и показывали пальцем у виска. Придя домой, садился в кресло, протягивая ноги к камину, и записывал в излюбленную книжку те мысли, которые он только что вышагал.

Жена Мэри старалась оградить его размышления от будничных забот, умно и твердо управляя домом, наполненным детскими голосами. Помогала ему, переписывая рукописи ученых трудов, но решительно противилась его поэтическим упражнениям, находя их пустой тратой времени. Характером она была в своего дядюшку сэра Джорджа Эвереста, который много лет провел в колониях, руководил геодезическими работами в Индии, измерил индийский меридиан, — в честь чего его именем и была названа гора Эверест.

Пять дочерей ниспослал господь бог в дом Буля — целый выводок в одинаковых бантиках и передничках. Не обижены они будут и талантами. Вот Алиса, что постарше. Не получив специального образования, она проявит все же редкий математический дар и создаст в виде домашнего развлечения модели столь сложных геометрических сечений, что самые серьезные ученые мужи придут в изумление от этих «игрушек английской дамы». Или следующая, за ней, хрупкая Люси. Она станет первой женщиной в Англии, которая получит звание профессора химии. Или самая младшая, Этель. Весь мир на всех языках будет повторять ее имя, восхищаться и плакать над ее героем — потому что именно она, писательница Этель Войнич, урожденная Буль, вступит в среду революционеров и создаст роман «Овод». («Как?! — взволновался, узнав об этом, Мартьянов и кинулся рассказать Наташе: — Смотри, какое совпадение!») А имя самого Буля останется почти неизвестным (как неизвестно оно было Мартьянову), и будут его знать лишь те немногие, кто отважится вступить в дебри неясной, даже сомнительной науки, под названием математическая логика.

Он написал вторую книгу — «Законы мышления». Более обоснованную и фундаментальную. Развил в ней свой метод трех основных логических операций: умножения, сложения и отрицания. Развил эту своеобразную алгебру логики, которая подчиняется важнейшим алгебраическим законам, но не знает ни кратных, ни степеней. Он разработал ее тринадцать главных правил, по которым одни выражения можно приравнивать к другим, менять символы местами, операции сложения переводить в операции умножения и обратно… Словом, он создал математический аппарат, позволяющий ему, как острием инструмента, проникать в сферу логических отношений и наводить там порядок. Аппарат, по которому тосковали все его исторические предшественники.

Начав свой метод с исчисления классов или понятий, он стал расширять его до более сложных логических построений. Алгебру логики можно, оказывается, применить и к целым предложениям — идея, которая приведет затем к созданию так называемого исчисления высказываний. Если только подразумевать теперь под разными символами, под этими иксами или игреками, не отдельные понятия, а понятия сложные, суждения. Не просто «человек», или «смертный», или «белый»… Но уже такие предложения, как «Все люди смертны» или «Зимой снег белый». Толкование символов может быть разное, а правила операций над ними сохраняются прежние. Опять проявление все той же возможности, подмеченной Булем, — возможности различной интерпретации.

Сальери — одинокий завистник — «поверил алгеброй гармонию». Доверчивый, восторженный Буль поверял в часы одиночества алгеброй логику. Классическую логику, воздвигнутую еще во времена Аристотеля. На формулах пробовал он выводы аристотелевых силлогизмов:

И убедился, что его алгебра и классическая логика не противоречат друг другу. Алгебра была в согласии с логикой. Логика подтверждала алгебру. Буль сдержал обещание, данное когда-то своему другу: перевести на язык математики, может быть, и фигуры силлогизма. Бог знает, каким путем это ему удавалось, — удивлялись позднейшие исследователи, — но ответы сходились.

И вот что еще заключалось в булевом методе, что не сразу удалось раскусить Мартьянову, и, конечно, не по книжке Буля, но что предстанет впоследствии перед ним во всем своем значении.

Буль показал, что всякое логическое выражение, обозначенное в символах, можно разложить на простейшие составные части. Смотрите, единица, то есть «весь мир речи», состоит из всех икс или всех не-икс, скажем, из всего «живое» или всего «не-живое». 1 = х+х1.

Так и любое логическое выражение можно представить состоящим из всех возможных комбинаций простейших понятий, входящих в это выражение, вместе с их отрицаниями. Видите, как опять запутанно звучит это в словах и как просто выглядит в переводе на язык алгебры.

Если выражение зависит от двух символов x и y, то разложение единицы будет выглядеть так:

1 = xy+xy1+x1y+x1y1.

Попробуйте-ка это выразить словами.

Буль назвал такие составные части по-английски — «конституенты». И вместе с ними перешел от обычных способов мышления, непосредственных и очевидных, к способам собственно алгебраическим, уже не столь явно связанных со смыслом, но тем не менее вполне логичным и достоверным. Умозрение уступило место вычислению.