Чтение онлайн

Кстати, с развитием естествознания мысль все больше привыкала и к идее различных интерпретаций. Казалось бы, самые далекие друг от друга явления обнаруживали поразительное сходство в своих внутренних отношениях и закономерностях. Одинаковые приемы исследования становились годными и в теории чисел, и в геометрии, и в оптике, и в механике материальных тел. Одни ученые изучали, скажем, движение небесных светил, другие — поведение корабля на волнах, третьи — колебания маятника, четвертые — электромагнитные волны… Каждый описывал математически свои явления, выводил свои дифференциальные уравнения. А когда их сличали, оказывалось, что уравнения одинаковы.

Природа заявляла о своем единстве. О том единстве, о котором еще смутно грезили греки, размышлял Лейбниц, строя свои «универсалии», возвещал Буль в своих стихах, в своей системе и о котором с полной научной ясностью заявил диалектический материализм.

Почти в то же время, как из ирландского городка Корк выходят идеи булевой алгебры, тронувшие лишь умы одиночек, в Лондоне Фридрих Энгельс набрасывает общий план своей «Диалектики природы», которой суждено было совершить переворот в мировоззрении поколений. Пункт третий этого плана: «Диалектика, как наука о всеобщей связи…» И еще раз о том же: «4. Связь наук. Математика, механика, физика, химия, биология…»

Время раздвигает этот диалектический ряд. Физики моделируют различные процессы, изображая, например, потоки жидкости в виде электротоков или уподобляя ход времени быстрому вращению в центрифугах. Математики находят способы изучать свойства одной математической системы с помощью свойств другой системы, служащей как бы ее моделью. Все тот же метод различного толкования одних и тех же знаков, формул, соотношений.

Но продолжить связь наук от математики… до логики решался далеко не всякий. Хотя робким умам сам Энгельс подсказывал возможный шаг, говоря о сходстве, о родстве математики постоянных величин с логикой. И все же иным казалось, что в булевом методе таится какое-то посягательство на самое сокровенное, что отличает человека, — на его мысль. Как?! Свести все богатство мышления к каким-то формулам, подменить язык слов, живой, трепетный язык, — бездушными значками! Недоумения и недоразумения шли рука об руку.

Когда-то во владения логики были допущены так называемые «круги Эйлера», помогающие изображать пересечение классов. То была графическая символика. Но символика алгебры — нет, это уж что-то чересчур! И логика упорно обходила ее и обходилась без нее. И, вопреки надеждам Лейбница, человечество продолжало спорить, все также яростно бросаясь словами.

Алгебра логики была использована для других целей. Ее подхватили математики — ее уже основательно разработанный аппарат, ее формулы и приемы. Ухватились за нее, как за верный инструмент строго логических доказательств. Тень Лобачевского стояла над всей математикой, звала критически взглянуть в самые основы.

Взяв под сомнение знаменитый пятый постулат геометрии Евклида — «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной», — и, выдвинув вместо него другой — «…можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые», — Лобачевский построил новую геометрию. Геометрию, гораздо более широкую и объемлющую, в которой и сама тысячелетняя геометрия Евклида стала лишь частным случаем. И доказал, что его новая геометрия свободна от противоречий.

Всего лишь небольшая замена в одной исходной точке — и полный пересмотр!

Казанский переворот Лобачевского, дойдя наконец до сознания ученого мира, потряс устои математики. И заставил на многое посмотреть заново, более строго отнестись к тому, что издавна казалось таким непреложным и твердо установленным. К аксиомам, к этим «очевидным истинам», которые кладутся в фундамент всякой теории или системы. К тем следствиям, которые из этих аксиом выводятся. И прежде всего к тем способам доказательства, которыми при этом пользуются.

А доказательство — это логика, это цепочка связанных понятий, суждений, умозаключений. Тут-то и могла пригодиться алгебра логики с ее разработанным аппаратом, с правилами вывода и преобразований. Математиков абстракция не пугает. Вложив определения аксиом и теорем в знаки и связки между ними, они проделывают затем по строгим правилам разные операции, не задумываясь на каждой ступеньке о содержании. Лишь в конце смотрят: отвечает ли полученный вывод истине или нет? Не показывает ли конечная формула противоречий? Недаром математики любят говорить о полезном и продуктивном формализме. В отличие от пустого формализма, когда идет бессмысленная игра в символы без всякого содержания и в конце и в начале.

Математическая логика стала теорией математических доказательств.

Многие рассуждения могут претендовать на право называться доказательством. Но немногие из них, даже самые умные с виду, являются действительно доказательством. Математическая логика это резко обнажала — без лишних слов, с холодным бесстрастием алгебраических выкладок. Аккуратнее! Аккуратнее обращаться с тем, с чего мы начинаем, — как бы призывала ее бессловесная сдержанность. И часто оказывалось, что самое простое является самым запутанным.

Трудно бывает решить какую-нибудь задачу, иногда кажется, что и невозможно. А что такое решить задачу? — спрашивала математическая логика и пыталась дать свое строго логическое, свободное от всяких околичностей определение. Все так называемые «азбучные истины» в математике подвергались ее дотошному расследованию. Даже такую вещь, как элементарную арифметику, нашу простушку школьную арифметику, не удавалось обосновать без противоречий под бдительным оком математической логики.

А что такое число? Даже такой вопрос загонял мысль в тупик и оказывался для некоторых трагическим. Профессор Иенского университета Готлоб Фреге, много занимавшийся математической логикой, потратил всю жизнь на то, чтобы обосновать понятие «число». И когда работа была уже завершена, он получает письмо из Англии от Бертрана Рассела, который, пользуясь аппаратом математической логики, доказывает, что Фреге допустил где-то в исходных положениях ошибку, приводящую к противоречию. Все здание, возведенное иенским профессором, рушится — дело всей жизни!

Математическая логика не знает пощады. Она не терпит, когда мысль не сводит концы с концами.

Ну хорошо, а практическое применение? Как ни назойлив бывает для науки подобный вопрос, он все же напрашивался. В самом деле, к какому бы реальному делу приспособить алгебру логики?

Она нашла себе пристанище в теории вероятностей — область, где бушуют множества случайных событий. А событие — категория логическая. Как в логике всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным, так и о всяком событии имеет смысл говорить, что оно либо происходит, либо не происходит. Одно из двух. Знакомый двоичный выбор. А если так, то исчисление событий можно строить по законам булевой алгебры. Обозначать символами. Складывать, умножать. Связывать в равенства. Приравнивать единице или нулю. Преобразовывать по знаменитым тринадцати правилам Буля. Разлагать на конституенты…