Чтение онлайн

Таким образом, дифференциальная геометрия дает исследователю надежный математический формализм, позволяющий установить взаимнооднозначное соответствие между локальным точечным описанием физических величин (импульс в данной точке в виде вектора) и нелокальным описанием (тот же импульс, но уже в объеме, окружающем эту точку в виде 1-формы). А значит, учитывая наши цели, необходимо поближе познакомиться с этим геометрическим объектом (небольшое дополнение см. в Приложении).

Нам понадобится еще одно понятие дифференциальной геометрии. Это 1-форма объема. Достаточно будет ограничиться частным случаем этого понятия для трехмерного куба в системе отсчета, относительно которой он находится в покое. Тогда 1-форма объема с 4-скоростью uи ребром Lопределяется как = — V u= L 3 d t в случае стандартной положительной ориентации uв прошлое ( u= — d t ) или в другом варианте = L 2 t d x . По своему геометрическому смыслу 1-форма объема представляет собой объем, «заметаемый» со временем либо за счет движения самого объема (первый вариант), либо за счет движения одной из его граней, например, площадки S yz = L 2в направлении xсо скоростью u(второй вариант).

1-форма произвольного объема может быть проанализированапутем разбиения ее на введенные элементарные объемы.

Теперь мы располагаем уже всеми необходимыми понятиями, чтобы сформулировать определение [159] тензора энергии-импульса в терминах дифференциальных форм: тензором энергии-импульса называется линейный оператор с двумя входными каналами, в один из которых вводится 1-форма объема , а в другой — произвольный вектор wили 1-форма , и в результате получается проекция 4-импульса на этот вектор или 1-форму соответственно, то есть

T( w, ) = w · p, T( , ) = 'a , p~n. (5.6)

Это определение позволяет легко получить компоненты тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку проекция импульса pна 4-вектор скорости наблюдателя uдает энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, то есть W= —u · p.

Пространственные компоненты T ik из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время tэта поверхность «заметает» 3-объем, 1-форма которого равна = L 2 + k t d x k . Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей лоренцевойсистеме, мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью uпоочередно вдоль всех своих координатных осей. За время tон сканирует всю площадку и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс p, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.

Обозначим компоненты скорости наблюдателя через u i = ( x i/ t) e i . Тогда компоненты T ik можно определить из (5.6):

u i · p= — W= T( u i , ), (5.7)

или в компонентных обозначениях,

— W= ( x i/ t) L 2 + k t T( e i , d x k ) = x iL 2 + k T ik , (5.8)

Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись определением градиента, получим

—~N iW / L 2 + k = T ik . (5.10)

Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии ~N iW уже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя x iвходит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой энергии идет речь — либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m 0 c 2, как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений — значение градиента энергии как объективно существующей физической характеристики при этом не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.

Сравнивая выражение (5.10) с обычной трактовкой пространственных компонент тензора энергии-импульса в терминах потока импульса, нетрудно заметить, что справедливо покомпонентное тождество ~N iW — p i/ t, связывающее энергетическое и импульсное представления компонент тензора энергии-импульса.

Еще более простой физический смысл имеет дивергенция от компонент тензора, стоящая в интеграле по объему в выражении (5.5). Устремляя исходный3-объем к нулю и имея при этом L 2 + k – > S + k , получим

то есть i– компоненту градиента энергии, приходящуюся на единицу 3-объема, или i– компоненту объемной плотности градиента энергии.Уравнения движения (5.5) теперь приобретают простой физический смысл: они связывают силу, действующую на произвольный выделенный объем, и градиент энергии в этом объеме.

Итак, основной вывод можно сформулировать следующим образом: сила, действующая со стороны произвольного выделенного объема рассматриваемой системы, равна градиенту энергии во всем этом объеме, то есть

F= ~N W. (5.12)

На первый взгляд, мы получили самый обычный второй закон Ньютона, ничего нового, как может показаться, здесь нет, и непонятно, зачем вообще надо было применять сложный математический аппарат дифференциальной геометрии. Но это впечатление обманчиво. Основная особенность такой формы записи, а одновременно и преимущество используемого подхода в том, что это уравнение, трактуемое в терминах дифференциальных форм, — общековариантно. Оно не зависит от систем отсчета (это справедливо и для обычного понятия градиента). Более того, для градиента, понимаемого как 1-дифференциальная форма, вид этого уравнения не зависит от размерности пространства, от его метрики, и справедливо оно даже при полном ее отсутствии (дифференциальная топология). Таким образом, это уравнение продолжает работать и в том случае, когда, например, объект перешел в чистое запутанное состояние, то есть стал нелокальным, и нет возможности ввести его координатное представление. Это уравнение обобщает второй закон Ньютона и может служить его аналогом для «тонких» структур, оно работает не только в плотном материальном мире, но и на любых квантовых уровнях реальности.