Чтение онлайн

Попытаемся теперь на конкретном примере продемонстрировать, какую дополнительную научную информацию мы можем получить, используя предложенный подход. Кому трудно следить за математическими выкладками, может их опустить и сразу перейти к обсуждению полученного результата.

Рассмотрим уравнение движения для произвольного объекта. Его легко получить на основе упомянутого выше лагранжеваформализма, используя наиболее общий подход, который применяется при выводе тензора энергии-импульса произвольной системы.

Напомню, что уравнение движения получают согласно принципу наименьшего действия путем варьирования D, и оно имеет вид:

, (5.1)

Равенство нулю дивергенции (5.1) означает, что сохраняется интеграл от тензора по гиперповерхности пространства. Этот тензор Т с компонентами T jl ( j, l= 0, 1, 2, 3) называется тензором энергии-импульса системы. Он определен неоднозначно, а только с точностью до градиента произвольного антисимметричного тензора. Для его однозначного определения можно потребовать, чтобы существовала принятая в механике связь между импульсом и моментом импульса. В этом случае получаем дополнительное условие T jl = T lj , то есть тензор энергии-импульса должен быть симметричен.

Компонента T 00этого тензора характеризует плотность энергии. Вектор с компонентами T 10/ c, T 20/ c, T 30/ cесть плотность импульса, а вектор с составляющими cT 01, cT 02, cT 03— плотность потока энергии— количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Ввиду симметричности тензора мы имеем связь между потоком энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной на c 2. Компоненты T ik ( i , k= 1, 2, 3) составляют трехмерный тензор плотности потока импульса. Взятые со знаком минус они образуют тензор напряжений. Плотность потока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, который сам по себе вектор, должна быть тензором второго ранга.

Отсюда вывод: скорость изменения энергии, находящейся в объеме V, равна количеству энергии, протекающей через границу этого объема в единицу времени, и скорость изменения импульса системы в объеме Vесть количество импульса, вытекающее в единицу времени из этого объема [см. уравнения (5.4), (5.5) чуть ниже].

На этом обычно заканчивается анализ уравнений движения произвольной системы, и далее используют различные приближения, чтобы упростить общий вид тензора энергии-импульса в конкретных частных задачах.

Однако уже в общем случае тензора энергии-импульса произвольной системы нас не устраивает та часть интерпретации уравнений движения, в которой используется импульсное представление. Оно более подходит для описания локальных объектов, а в нашей ситуации, когда мы имеем дело с непрерывными полевыми структурами, предпочтительно использовать энергетическое представление. Поэтому сейчас мы постараемся от импульсной интерпретации перейти кэнергетической и проанализируем уравнения движения уже в этих терминах.

Рассмотрим эти уравнения. Они получаются из (5.1) разделением на пространственные и временные производные:

, (5.2)

. (5.3)

Эти уравнения затем интегрируются по некоторому произвольному объему пространства V, и применяется теорема Гаусса.

, (5.4)

. (5.5)

Интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объем V( df 1, df 2, df 3— компоненты трехмерного вектора элемента поверхности d f ).

Рассмотрим более подробно второе уравнение (5.5), поскольку результаты, полученные при его анализе, будут широко использоваться в дальнейшем.

Левая часть не вызывает вопросов — здесь стоит скорость изменения импульса в объеме V, то есть сила, действующая на этот объем. А вот в правой части мы перейдем к энергетическому представлению и для этого воспользуемся аппаратом дифференциальной геометрии, теоретические основы которого изложены в книге Б. А. Дубровина, С. П. Новикова, А. Т. Фоменко «Современная геометрия: Методы и приложения» (М.: Наука, 1986). Достаточно подробное описание того, как эти методы применяются в физике, в частности, к тензору энергии-импульса, содержится в книге Ч. Мизнера, К. Торна, Дж. Уилера«Гравитация», т. 1 (М.: Мир, 1977).

Очень кратко напомню смысл основных понятий дифференциальной геометрии, которыми нам придется оперировать. Прежде всегоэто касается еще одного геометрического объекта — «дифференциальной формы», который наряду с другими хорошо известными геометрическими объектами (скаляр, вектор, тензор) описывает физические величины. В частности, более подробно рассмотрим понятие 1-формы.

Может возникнуть закономерный вопрос: зачем вообще нужны дифференциальные формы, и нельзя ли обойтись хорошо известными старыми понятиями? Чтобы ответить на этот вопрос, приведу следующий пример из книги Мизнера-Торна-Уилера.

Рассмотрим привычное определение вектора 4-импульса pдля частицы, например электрона, с массой mи вектором 4-скорости u, то есть p= m u . Кроме этого, в физике известен и другой подход к понятию импульса, при котором каждой частице приписывается волна де Бройля. Эта волна имеет самый непосредственный физический смысл, ее дифракция на кристаллической решетке позволяет определить не только длину волны, но и ту конфигурацию в пространстве, которую образуют поверхности равных целочисленных значений фазы. Конфигурация этих поверхностей дает простейшую иллюстрацию, которую удается найти для 1-формы. Определив эти поверхности посредством выражения ћ ' фаза, получим «1 – форму импульса»

.

Посмотрим, что может дать такое представление импульса. Возьмем произвольный 4-вектор v. Он пересечет определенное число поверхностей целой фазы. Обозначим это число пересечений посредством выражения 'a

, v~n. Как правило, началои конец вектора vне лежат на поверхностях целочисленных фаз. Чтобы определить более точное значение числа пересечений (перейти от целого числа к вещественному), необходимо в этих позициях между соседними поверхностями целой фазы распределить бесконечное число поверхностей со всеми промежуточными значениями фазы. Далее, чтобы понятие 1-формы стало рабочим инструментом, нужно сделать еще один небольшой шаг. Необходимо трактовать 1-форму не как глобальную конфигурацию поверхностей уровня, а как некоторую аппроксимацию этих поверхностей в элементарном, бесконечно малом объеме в виде плоских поверхностей, расположенных на равных расстояниях друг от друга (линейное приближение). Плоские поверхности 1-формы в этом малом объеме дадут наилучшую линейную аппроксимацию искривленных поверхностей уровня, а сама 1-форма становится линейной функцией, и появляется возможность оперировать ею, как и любой другой функцией. Нетрудно убедиться, что совокупность всех 1-форм в данном событии (4-точке) образует векторное пространство в абстрактном, алгебраическом смысле этого понятия. Существует и взаимно однозначное соответствие между произвольным вектором nи соответствующей ему 1-формой n в виде 'a n , v~n = n · v, то есть число пересеченных поверхностей произвольным вектором vу некоторой 1-формы n равно проекции вектора vна вектор n(точка обозначает скалярное произведение).